Bài tập: Tìm \( m \) để hàm số \( y = \frac{x^2 + 2(m + 1)x + m^2 + 4m}{x + 2} \) có cực đại và cực tiểu. Đồng thời, các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ \( O \) tạo thành một tam giác vuông tại \( O \). (Đề thi 2007, Khối A)
Lời giải
- \(\)\( y' = \frac{x^2 + 4x - m^2 + 4}{(x + 2)^2}\)
- Hàm số có cực đại và cực tiểu \( \Leftrightarrow \) phương trình \( x^2 + 4x - m^2 + 4 = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1, x_2 \neq -2 \).
\( \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta' = m^2 > 0 \\ -m^2 \neq 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow m \neq 0 \).
- Lúc đó \( y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} x = -2 - m \\x = -2 + m \end{array} \right. \)
- Hai điểm cực trị của đồ thị là:
A \(\begin{cases}
x = -2 - m \\
y = -2
\end{cases}\)
B \(\begin{cases}
x = -2 + m \\
y = 4m - 2
\end{cases}\)
- \(\triangle OAB\) vuông tại \(O\) \(\Rightarrow \overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0 \Rightarrow m^2 + 8m - 8 = 0\)
\(\Rightarrow m = -4 \pm 2\sqrt{6} \) (thỏa mãn \( m \neq 0\))