Lời giải

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình \( f'(x) = 0 \) có 4 nghiệm:

• \( x_1 = a \in (-\infty , -1) \)
• \( x_2 = b \in (-1 , 0) \)
• \( x_3 = c \in (0, 1) \)
• \( x_4 = d \in (1, +\infty ) \)

Xét hàm số \( y = f(x^2 - 2x) \).

• Đạo hàm: \( y' = (2x - 2) \cdot f'(x^2 - 2x) \)
• Phương trình \( y' = 0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x=1 \quad \text{(1)}\\ x^2 - 2x = a \quad \text{với } a \in (-\infty , -1) \quad \text{(2)} \\ x^2 - 2x = b \quad \text{với } b \in (-1, 0) \quad \text{(3)} \\ x^2 - 2x= c \quad \text{với } c \in (0, 1) \quad \text{(4)} \\ x^2 - 2x = d \quad \text{với } d \in (1, +\infty ) \quad \text{(5)} \end{array}\right. \)

• Phương trình \( x^2 - 2x - a = 0 \) có \( \Delta' = 1 + a < 0 \), với \( a \in (-\infty, -1) \), phương trình này vô nghiệm.
• Phương trình \( x^2 - 2x - b = 0 \) có \( \Delta' = 1 + b > 0 \), với \( b \in (-1, 0) \), phương trình này có 2 nghiệm phân biệt, nhưng không có nghiệm nào trùng nghiệm của phương trình (1).
• Tương tự, phương trình (4) và phương trình (5) mỗi phương trình đều có 2 nghiệm phân biệt và không trùng với nghiệm của phương trình khác.

Tóm lại: phương trình \( y' = 0 \) có 7 nghiệm phân biệt (không có nghiệm bội chẵn). Do đó, hàm số đã cho có 7 cực trị.