Lời giải
Bài tập: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \( m \) sao cho ứng với mỗi \( m \), hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - mx + \frac{2}{3} \) có đúng một điểm cực trị thuộc \( (0, 6) \)?
\( \text{A. } 24 \quad \quad \text{B. } 25 \quad \quad \text{C. } 26 \quad \quad \text{D. } 23 \)
(Đề thi THPT 2023 câu 40)
Lời giải
- \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 -mx + \frac{2}{3} \)
\( \Rightarrow y' = x^2 - 2x -m \)
- \( y'=0 \Rightarrow x^2 - 2x = m\)
Đặt \( g(x) = x^2 - 2x \)
\( \Rightarrow g'(x) = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \).
Bảng biến thiên:
Hàm số đã cho có đúng 1 cực trị thuộc \( (0, 6) \)
\(\Rightarrow \) phương trình \(y' = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có đúng 1 nghiệm thuộc (0, 6)
\(\Rightarrow 0 \leq m < 24 \)
Có 24 giá trị nguyên của \(m\). Do đó chọn \( \boxed{A} \).