Lời giải:

• \( m < 0 \): Đồ thị \( (C) \) không có tiệm cận ngang, do đó \( (C) \) có nhiều nhất là 1 tiệm cận đứng.
• \( m = 0 \): Hàm số không xác định tại mọi \( x \in \mathbb{R} \), tập xác định \( D = \emptyset \).
• \( m > 0 \): Đồ thị \( (C) \) có 2 tiệm cận ngang \( y = 1 \pm \sqrt{m} \).

Khi đó \( x = 2 \) là tiệm cận đứng của \( (C) \) 

\(\Leftrightarrow \begin{cases} 4m - 3 \geq 0 \\ 2 - \sqrt{4m - 3} \neq 0 \end{cases} \)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} m \geq \frac{3}{4} \\ 4m - 3 \neq 4 \end{cases} \)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} m \geq \frac{3}{4} \\ m \neq \frac{7}{4} \end{cases}\)

Vậy \( (C) \) có 3 tiệm cận khi \( m \geq \frac{3}{4} \) và \( m \neq \frac{7}{4} \).