Lời giải:

Phương trình \(\frac{x^2 + mx + 1}{x + 1} = 2x + 1 \)  có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \text{Hệ} \begin{cases} 
x^2 + mx + 1 = (2x + 1)(x + 1) \\
x \neq -1
\end{cases} \) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \begin{cases} 
x^2 + (3 - m)x = 0 \\ x \neq -1
\end{cases} \) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \begin{cases} 
x(x+ (3 - m)) = 0 \\ x \neq -1
\end{cases} \) có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3\)

Vậy chọn \(\boxed{C}\).