Bài tập: Các giá trị của m để hàm số 

\(y = f(x) = -\frac{1}{3} x^3 + mx^2 - (3m + 4)x + 1\)

nghịch biến trong \((1, +\infty)\) là:

\(\text{A. } -5 < m < 4 \)

\(\text{B. } -5 \leq m \leq 4 \)

\(\text{C. } m \geq -5 \)

\(\text{D. } -1 \leq m \leq 4 \)

 

Hướng dẫn:

\(f'(x) = -x^2 + 2mx - (3m + 4) \leq 0, \, \forall x \in (1, +\infty)\)

\(\iff \left[ \begin{array}{} \Delta' = m^2 - 3m - 4 \leq 0 \\ \begin{cases} \Delta' = m^2 - 3m - 4 > 0 \\ x_1 < x_2 \leq 1 \end{cases} \end{array} \right. \)

\(\quad \left( x_{1,2} = m \pm \sqrt{m^2 - 3m - 4} \right) \)
 

\(\iff \left[ \begin{array}{}-1 \leq m \leq 4  \\ \begin{cases}m < -1 \, \text{hoặc} \, m > 4 \\ -f'(1) = -(m - 5) \geq 0 \\  \frac{3}{2} = m < 1 \end{cases} \end{array} \right. \)

\(\iff \left[ \begin{array}{}-1 \leq m \leq 4  \\ \begin{cases}m < -1 \, \text{hoặc} \, m > 4 \\ m \geq -5 \\ m < 1 \end{cases} \end{array} \right. \)

\(\iff \left[ \begin{array}{}-1 \leq m \leq 4 \\ -5 \leq m < -1  \end{array} \right. \)

\(\iff -5 \leq m \leq 4\)

Vậy chọn \(\boxed{B}\).

 

Cách 2:

Bấm máy:

• \( m = -5 \):  \(  f'(x) = -x^2 - 10x + 11 \leq 0 \)

\(\iff  \left[ \begin{array}{} x \leq -11 \\x \geq 1 \end{array} \right. \). Thỏa mãn. Do đó loại  A và D.

• \( m = 5 \): \(  f'(x) = -x^2 + 10x - 19 \leq 0 \) 

\( \iff \left[ \begin{array}{} x \leq 5 - \sqrt{6} \\ x \geq 5 + \sqrt{6}  \end{array} \right. \). Không thỏa mãn. Do đó loại C. 

Vậy chọn \(\boxed{B}\).

---