Bài tập: Tập hợp tất cả giá trị của m để hàm số \(y = f(x) = x^3 + mx^2 - 3x + 1\) đồng biến trong \((2, +\infty) \) là:

\(\text{A. } -6 ≤ m < -\frac{9}{4} \quad\quad  \text{B. } m ≥ -6\)

\(\text{C. } m >= -\frac{9}{4} \quad \quad \text{D. } m < -6 \)

Lời giải:

\(f'(x) = 3x^2 + 2mx - 3 \geq 0, ∀x ∈ (2, +∞)\)

• Với m = 0: \(f'(x) = 3x^2 - 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq -1 \text{ hoặc } x \geq 1\). Thỏa mãn, loại A&D.
• Với m = 3: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \leq 1 - \sqrt{2} \text{ hoặc } x \geq 1 + \sqrt{2}\). Không thỏa mãn, loại B.

Vậy chọn \(\boxed{C}\).

\(f'(x) = 3x^2 + 2mx - 3 > 0, \, \forall x \in (-\infty, -1)\)

\(\iff  \left[ \begin{array}{} \Delta' \leq 0 \\f'(x) = 0  \text{ có 2 nghiệm } x_1, x_2: -1 \leq x_1 < x_2 \end{array} \right. \)

\(\iff  \left[ \begin{array}{}\Delta' = m^2 + 9 \leq 0  \\ \begin{cases}  \Delta' = m^2 + 9 \geq 0 \\ 3f'(-1) = 3(-2m) \geq 0 \\ -1 \leq \frac{5}{2} = -\frac{m}{3}  \end{cases} \end{array} \right. \)

\(\iff \begin{cases}m \leq 0 \\m \leq 3 \end{cases} \)

\( \iff m \leq 0 \)