Bài tập: Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{m^2}{2}x^2 + m + \frac{1}{3}\) \((C)\) và điểm \(M\) trên \( (C)\) có hoành độ \(x = -1\). Tính tất cả giá trị của \(m\) để tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) song song với đường thẳng \( \Delta: y = 5x + 5 \).
A. \(m = 2\)
B. \(m = 4\)
C. \(m = -2\)
D. \(m = 2\) hoặc \(m = -2\)
Lời giải:
- \(f'(x) = x^2 - m^2 x\)
- \(f'(-1) = 5 \Rightarrow m^2 + 1 = 5 \) \(\Rightarrow m = \pm 2\). Do đó loại đáp án B.
- Với \(m = 2\):
\( f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + \frac{7}{3} \)
\( f'(x) = x^2 - 4x\)
\(\Delta_1: y = f'(-1)(x +1) + f(-1) \)
\( \quad \quad = 5(x + 1) + 0 = 5x + 5 == \Delta \)
\(\Rightarrow \) Loại đáp án A và D. Do đó chọn \(\boxed{C}\).