Bài tập: Cho hàm số \( y = x^3 - 3mx + 1 \) và điểm \( A(2, 3) \). Biết đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \(B \) và \(C \) sao cho \( \Delta ABC \) cân tại \( A \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \( m \in [0, \frac{1}{2}) \)
B. \( m \in [\frac{1}{2}, 1) \)
C. \( m \in [1, \frac{3}{2}) \)
D. \( m \in [\frac{3}{2}, 2) \)
Lời giải:
- \( y' = 3x^2 - 3m \)
- Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \( \Rightarrow \) phương trình \( y' = 3x^2 - 3m = 0 \), có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0 \).
- Khi đó 2 điểm cực trị của đồ thị là:
\( B \begin{cases} x_B = -\sqrt{m} \\ y_B = 2\sqrt{m^3} + 1 \end{cases} \)
\( C \begin{cases} x_C = \sqrt{m} \\ y_C = -2\sqrt{m^3} + 1 \end{cases} \)
- \(\Delta ABC\) cân tại \( A \)
\( \Leftrightarrow AB^2 = AC^2 \)
\( \Leftrightarrow (-\sqrt{m} - 2)^2 + (2\sqrt{m^3} - 2)^2 = (\sqrt{m} - 2)^2 + (-2\sqrt{m^3} - 2)^2 \)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt{m^3} = \sqrt{m} \quad (m > 0) \)
\( \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2} \)
Do đó chọn \( \boxed{B} \).
Nhắc lại: \( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \)