Lời giải
Bài tập: Cho hàm số \( y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x - m^3 \) có đồ thị \( (C_m) \). Biết \( (C_m) \) luôn có 2 điểm cực trị \(\forall m \in \mathbb{R}\) và điểm cực đại luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định. Phương trình của đường thẳng đó là:
A. \( 3x - y + 1 = 0 \)
B. \( 3x + y + 1 = 0 \)
C. \( 3x + y - 1 = 0 \)
D. \( -3x + y + 1 = 0 \)
A. \( 3x - y + 1 = 0 \)
B. \( 3x + y + 1 = 0 \)
C. \( 3x + y - 1 = 0 \)
D. \( -3x + y + 1 = 0 \)
Lời giải:
- Chia \(y\) cho \(y'\) ta có:
Do đó đường thẳng \( AB \) qua 2 điểm cực trị có phương trình: \( y = -2x - m \).
- \( y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2 - 1) = 0 \)
\(\Leftrightarrow x = m - 1 \text{ hoặc } x = m + 1\)
Do đó tọa độ điểm cực đại là:
\(\Delta \left\{ \begin{aligned} x &= m - 1 \\ y &= -2x - m \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} m &= x + 1 \\ y &= -3x - 1 \end{aligned} \right.\)
Vậy đường thẳng đi qua điểm cực đại có phương trình \( 3x + y + 1 =0 \).
Chọn \( \boxed{B} \).
Ngoài ra, điểm cực tiểu luôn nằm trên đường thẳng \( 3x + y -1 = 0 \).