Bài tập: Tìm tất cả giá trị của \( m \) để đồ thị của hàm số \( y = 2x^3 - 3(m + 1)x^2 + 6mx \) có 2 điểm cực trị \( A, B \) sao cho đường thẳng \( AB \perp d: y = x + 2 \).
A. \( m = 0 \)
B. \( m = 2 \)
C. \( m = 1 \)
D. \( m = 0 \) hoặc \( m = 2 \)
Lời giải:
- \( y = \left(\frac{1}{3} x - \frac{(m + 1)}{6} \right) y' - (m - 1)^2 x + m(m + 1) \)
- \( \Delta: y = -(m - 1)^2x + m(m + 1) \perp d \)
\( \Leftrightarrow -(m - 1)^2 = -1 \Leftrightarrow m^2-2m = 0 \)
\( \Leftrightarrow m = 0 \text{ hoặc } m = 2 \)
- Đồ thị hàm số có 2 cực trị
\( \Leftrightarrow y' = 6x^2 - 6(m + 1)x + 6m = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta' = 9(m^2 + 2m+1) - 36m > 0 \)
\( \Leftrightarrow 9(m^2 - 2m +1) > 0 \Leftrightarrow m \neq 1 \)
Chọn \( \boxed{D} \).