Lời giải:

Cách 1:  \( C_m \) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục \( Ox \)

\( \Leftrightarrow \) Hàm số có cực đại và cực tiểu, và \( \text{y}_{\text{max}} \cdot \text{y}_{\text{min}} < 0 \).

Cách 2:  \( C_m \) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục \( Ox \)

\( \iff \text{pt: } x^3 + 3x^2 + mx - m - 4 = 0 \) có 3 nghiệm phân biệt

• Cách làm 1: Bấm máy tính

Bấm Mode \( \rightarrow 5 \rightarrow 4 \): phương trình bậc 3.

• \( m = -3 \): \( x^3 + 3x^2 - 3x - 1 = 0 \) có 3 nghiệm phân biệt. Thỏa mãn. Loại B và D.
• \( m = -4 \): \( x^3 + 3x^2 - 4x = 0 \) có 3 nghiệm phân biệt. Thỏa mãn. Loại A.

Do đó chọn \( \boxed{C} \).

• Cách làm 2: Giải phương trình

\( x^3 + 3x^2 + mx - m - 4 = 0 \)

\( \Leftrightarrow (x - 1)(x^2 + 4x + 4 + m) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \text{pt: } x^2 + 4x + 4 + m = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt \(\neq 1\)

\( \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta' = -m >0    \\ m+9 \neq 0 \end{cases} \)

\( \Leftrightarrow \begin{cases} m < 0 \\ m \neq -9 \end{cases} \)

Do đó chọn \( \boxed{C} \).