Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \). Giả sử \( A, B \) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Biết rằng đường thẳng \( AB \) qua gốc tọa độ. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P = abc + ab + c \).
\( \text{A.} -9 \quad \quad \text{B.} -\frac{25}{9} \)
\( \text{C.} -\frac{16}{25} \quad\quad \text{D.} 1 \)
Lời giải:
- \( y' = 3x^2 + 2ax + b = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta' = a^2 - 3b > 0 \).
- Chia y cho y' ta được: \( y = (3x^2 + 2ax + b)(\frac{x}{3} + \frac{a}{9}) + (\frac{2b}{3} - \frac{2a^2}{9})x + c - \frac{ab}{9} \)
- Đường thẳng qua 2 điểm cực trị \(A, B \) có phương trình: \( y = (\frac{2b}{3} - \frac{2a^2}{9})x + c - \frac{ab}{9} \)
- Đường thẳng này qua gốc tọa độ \( \Leftrightarrow c = \frac{ab}{9} \) \( \iff ab = 9c \)
- Khi đó \( P = abc + ab + c = 9c^2+10c \)
\( \Rightarrow P' = 18c + 10 = 0 \Leftrightarrow c = -\frac{5}{9} \) (\( \Leftrightarrow ab = -5 \text{ chọn } b < 0) \)
\(\text{Min } P = -\frac{25}{9} \)
Vậy chọn \( \boxed{B} \).