Lời giải:

• \( \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{ax^3 + bx^2 + cx + d}{x-1} \)

\( = \lim_{x \to 1} \frac{a(x^3-1) + b(x^2-1) + c(x-1) + a+b+c+d}{x-1} \)

\( = \lim_{x \to 1} \left[a(x^2 + x + 1) + b(x + 1) + c + \frac{a+b+c+d}{x-1}\right] \)

Vì \( \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 4 \) nên ta có:

\( \Leftrightarrow \begin{cases} a + b + c + d = 0 \\ 3a+2b+c=4\end{cases} \)

• Vì \( A(-1, 4) \) là điểm cực trị, nên:

\( \Leftrightarrow \begin{cases} f'(-1) = 0 \\  f(-1) = 4 \\  f''(-1) \neq 0  \end{cases} \)

Tính đạo hàm: \( f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \)

Thay \( x = -1 \) vào đạo hàm ta có: \( 3a - 2b + c = 0 \)

Thay \( x = -1 \) vào phương trình của \( f(x) \) ta có: \( -a + b - c + d = 4\)

Từ đó, ta có hệ:

\( \begin{aligned}
&\begin{cases}
a + b + c + d = 0 \\
3a + 2b + c = 4 \\
3a - 2b + c = 0 \\
-a + b - c + d = 4
\end{cases} \end{aligned} \)

\( \begin{aligned}  \iff 
\begin{cases}
a = 2 \\
b = 1 \\
c = -4 \\
d = 1
\end{cases}
\end{aligned} \)

Vậy:

\( a + 2b + 3c + 4d = 2 + 2(1) + 3(-4) + 4(1) = 2 + 2 - 12 + 4 = -4 \)

Vậy chọn \( \boxed{C} \).