Lời giải:

• \( f(x) = \begin{cases} 2x + 1 + (x^2 - 3x + 2), & nếu \, x \leq 1 \, hoặc \, x \geq 2 \\ 2x + 1 - (x^2 - 3x + 2), & nếu \, 1 < x < 2 \end{cases} \)

\( = \begin{cases} x^2 - x + 3, & nếu \, x \leq 1 \, hoặc \, x \geq 2 \\ -x^2 + 5x - 1, & nếu \, 1 < x < 2 \end{cases} \) (*)

• \( f'(x) = \begin{cases} 2x - 1, & nếu \, x < 1 \, hoặc \, x > 2 \\ -2x + 5, & nếu \, 1 < x < 2 \end{cases} \)

• \( \min\limits_{[0,3]} y = f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{11}{4} \)
• \( \max\limits_{[0,3]} y = \max \{ f(0), f(3) \} = \max \{ 3, 9 \} = 9 \)

Cách 2:

Lưu ý: Cho hàm số \( y = f(x) \) xác định trên \( [a, b] \) (không có điều kiện có đạo hàm trong \( (a, b) \):

\( \max\limits_{[a, b]} f(x) = \max \{ f(a), f(b)\), các giá trị tại các điểm đó đạo hàm = 0 hoặc không xác định}

\( \min\limits_{[a, b]} f(x) = \min \{ f(a), f(b)\), các giá trị tại các điểm đó đạo hàm = 0 hoặc không xác định}

Từ (*):

\( \max\limits_{[0,3]} f(x) = \max \{ f(0), f(3), f(1), f(2), f\left(\frac{1}{2}\right), f\left(\frac{5}{2}\right) \} \)

\( = \max \{ 3, 9, 3, 5, \frac{11}{4}, \frac{27}{4} \} = 9 \)