Lời giải:

• Tập xác định: \( \mathbb{R} \)
• Tính đạo hàm:\( f'(x) = \frac{(2x + 1)(x^2 + 1) - 2x(x^2 + x + 1)}{(x^2 + 1)^2} \)\(= \frac{-x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \)
• \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = 1 \)

Do đó \( 
\begin{cases} 
\max y = \frac{3}{2} \\ 
\min y = \frac{1}{2} 
\end{cases} 
\)

Cách 2: Tìm \( y \) để phương trình \( y = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1} \) có nghiệm

\( \Leftrightarrow y(x^2 + 1) = x^2 + x + 1 \quad \text{có nghiệm} \)
\( \Leftrightarrow (y - 1)x^2 - x + y - 1 = 0 \quad \text{có nghiệm} \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 1 \\ \begin{cases} y \neq 1 \\ \Delta = 1 - 4(y - 1)^2 \geq 0 \end{cases} \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 1 \\ \begin{cases} y \neq 1 \\ -4y^2 + 8y - 3 \geq 0 \end{cases} \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 1 \\ \begin{cases} y \neq 1 \\ \frac{1}{2} \leq y \leq \frac{3}{2} \end{cases} \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq y \leq \frac{3}{2}\)