Lời giải:

• \(f'(x) = \frac{m(x^2 + 1) - 2mx^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-mx^2 + m}{(x^2 + 1)^2}\)

\(\bigstar\) Các câu nhiễu của đề này không tốt, vì người giải chỉ cần dùng phương pháp loại suy là có thể tìm ra đáp án đúng.

• Thử các giá trị của m:
  • \( m = 2 \): \( f'(x) = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \) hoặc \( x = -1 \)

• \( m = 2 \) thỏa yêu cầu đề bài. Loại A và B.
• \( m = 1 \) (tương tự cũng thỏa đề bài): Loại D.

Vậy chọn \( \boxed{C} \).

\(\bigstar\) Để tốt hơn, đề này có thể sửa lại như sau:

Biết rằng hàm số \( f(x) = \frac{mx}{(x^2 + 1)^2} \) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \( [-2, 2] \) tại \( x = 1 \). Mệnh đề nào sau đây đúng?

\( A. \ m \in (-1; +\infty) \)
\( B. \ m \in (-\infty; 0) \)
\( C. \ m \in (-5; 5) \)
\( D. \ m \in (-2; 10) \)

• \(f'(x) = \frac{-mx^2 + m}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-m(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2}\)

• Nếu \( m = 0 \) thì: \( f(x) = 0 \), \( \forall x \in \mathbb{R} \). Thỏa yêu cầu đề bài.

• Nếu \( m \neq 0 \) thì: \( f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \).

  • \( m < 0 \):

Max \( f(x) \) trên đoạn \( [-2, 2] \) không xảy ra tại \( x = 1 \) .

• \( m > 0 \):

Max \( f(x) \) trên đoạn \( [-2, 2] \) \(= f(1) \) , thỏa yêu cầu.

Vậy tham số \( m \) thỏa yêu cầu khi \( m \geq 0 \). Vậy chọn \( \boxed{C} \).