Bài tập: Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước \( 4 \times 12 \) (dm). Người ta cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc sau đó gập lại thành một cái hộp chữ nhật không nắp. Cạnh của hình vuông bị cắt bỏ bằng bao nhiêu để thể tích cái hộp lớn nhất?

Đáp án:

Gọi \( x \) là cạnh của 4 hình vuông bị cắt bỏ. 

\( V = (12 - 2x)(4 - 2x)x \)

\( V = (4x^2 - 32x + 48)x \)

\( V = 4x^3 - 32x^2 + 48x, \quad 0 < x < 2 \)

\( V' = 12x^2 - 64x + 48 \)

Giải phương trình \( V' = 0 \):

\( x = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{3} \)

Bảng biến thiên:

Thể tích lớn nhất khi \( x = \frac{8 - 2\sqrt{7}}{3} \).

\( x = \frac{a + b - \sqrt{a^2 + b^2 - a b}}{6} = \frac{4 + 12 - \sqrt{4 \times 144 + 144 - 48}}{6} \)

\( = \frac{16 - \sqrt{112}}{6} = \frac{8 - 2\sqrt{7}}{3} \)