Đáp án
Bài tập
Cho \( x, y > 0 \). Tìm Max của \( P = \frac{4xy^2}{(x + \sqrt{x^2 + 4y^2})^3} \)
A. Max \( P = \frac{1}{8} \)
B. Max \( P = 1 \)
C. Max \( P = \frac{1}{10} \)
D. Max \( P = \frac{1}{2} \)
A. Max \( P = \frac{1}{8} \)
B. Max \( P = 1 \)
C. Max \( P = \frac{1}{10} \)
D. Max \( P = \frac{1}{2} \)
Đáp án
\( P = \frac{4 \left( \frac{x}{y} \right)^2}{\left( 1 + \sqrt{1 + 4 \left( \frac{x}{y} \right)^2} \right)^3} \)
Đặt \( t = \sqrt{1 + 4 \left( \frac{x}{y} \right)^2} > 1 \), suy ra \( 4 \left( \frac{x}{y} \right)^2 = t^2 - 1 \)
\( P = \frac{t^2 - 1}{(1 + t)^3} = \frac{t - 1}{(t + 1)^2} = f(t) \)
\( f'(t) = \frac{-t^2 + 2t + 3}{(t + 1)^4} = 0 \quad \Rightarrow t = -1 \ (\text{loại}) \quad \text{hoặc} \quad t = 3 \)
Bảng biến thiên của \( f(t) \):
Kết luận: Max \( P = \frac{1}{8} \)