Bài tập: Cho hàm số \( y = \frac{2x + 3}{x - 3} \) có đồ thị \( (C) \). Tìm tất cả các điểm trên \( (C) \) có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
\(\text{A. } M(0, -1) \quad \quad \text{B. } M(6, 5)\)
\(\text{C. } M(0, -1) \vee M(6, 5) \quad \quad \text{D. } M(0, 1) \vee M(6, 5)\)
Lời giải:
- Tiệm cận đứng \( \Delta_1: x - 3 = 0 \), tiệm cân ngang \( \Delta_2: y - 2 = 0 \).
- \( M(x_0, \frac{2x_0 + 3}{x_0 - 3}) \in (C) \).
- \( d(M, \Delta_1) + d(M, \Delta_2) = |x_0 - 3| + \left|\frac{2x_0 + 3}{x_0 - 3} - 2\right| \)
\( = |x_0 - 3| + \frac{9}{|x_0 - 3|} \geq 6 \)
Dấu \(=\) xảy ra khi \( |x_0 - 3| = 3 \frac{9}{|x_0 - 3|} \Leftrightarrow (x_0 - 3)^2 = 9 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = 0, \, y = -1 \\ & x = 6, \, y = 5 \end{aligned} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & M(0, -1) \\ & M(6, 5) \end{aligned} \right.\)
Vậy chọn \(\boxed{C}\).