Bài tập: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \( (C) \) của hàm số \( y = \frac{x + 2}{2x + 3} \) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm \( A \) và \( B \), và tam giác \( OAB \) vuông cân tại gốc tọa độ \( O \).
\(\text{A. } y = x + 3 \quad \text{B. } y = -x - 2 \)
\(\text{C. } y = -x + 2 \) hoặc \( y = -x - 2 \quad \text{D. } y = -x + 3 \)
Lời giải:
- Tam giác \( OAB \) vuông cân tại \( O \) \( \Rightarrow \) Tiếp tuyến có hệ số góc \( k \) bằng \( \pm 1 \).
- Gọi \( M(x_0, f(x_0)) \in (C) \).
- Tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) có hệ số góc \( k \) bằng \( \pm 1 \):
\( \Leftrightarrow f'(x_0)= \pm 1 \)
\( \Leftrightarrow \frac{-1}{(2x_0 + 3)^2} = \pm 1 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}\\
x_0=-2 \\
x_0=-1
\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}\\
\Delta: y = -x - 2 \quad (\text{thỏa mãn điều kiện}) \\
\Delta: y = -x \quad (\text{loại vì } O = \Delta = AB)
\end{array} \right. \)
Vậy chọn \(\boxed{B}\).