Lời giải:

• Gọi \( M(x_0, \frac{2x_0}{x_0 + 1}) \in (C) \).
• Tiếp tuyến \( \Delta \) của \( (C) \) tại \( M \):

\( \Delta: y = \frac{2}{(x_0 + 1)^2}(x - x_0) + \frac{2x_0}{x_0 + 1} \)

• Giao điểm \( A \) của \( C \) với trục \( Ox \): \( A\left(-\frac{x_0^2}{2}, 0\right) \).
• Giao điểm \( B \) của \( C \) với trục \( Oy \): \( B\left(0, \frac{2x_0^2}{(x_0 + 1)^2}\right) \).
• Diện tích tam giác \( OAB \) là:

\( S_{OAB} = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times \left|-x_0^2\right| \times \left|\frac{2x_0^2}{(x_0 + 1)^2}\right| = \frac{1}{4} \)

\(\Leftrightarrow \left|\frac{x_0^4}{(x_0 + 1)^2}\right| = \frac{1}{4} \)

\(\Leftrightarrow \left|\frac{x_0^2}{x_0 + 1}\right| = \frac{1}{2} \)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}
2x_0^2+ x_0 +1 = 0 \quad \text{(vô nghiệm)} \\
2x_0^2 - x_0 - 1 = 0
\end{cases} \)

\( \Leftrightarrow x_0 = 1  \text{ hoặc }  x_0 = -\frac{1}{2} \)

Vậy \( M\left(-\frac{1}{2}, -2\right) \) hoặc \( M(1, 1) \).