Bài tập: Tìm \( m \) để đồ thị hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \) cắt đường thẳng \( y = -2x + m \) tại hai điểm phân biệt \( A \) và \( B \) sao cho \( S_{\Delta OAB} = \sqrt{3} \).
\(\text{A. }m = 2 \quad \text{B. } m = \pm 2 \)
\(\text{C. } m = \pm 1 \quad \text{D. } m = \pm 3 \)
(Đề thi ĐH toàn quốc 2010, khối B)
Lời giải:
- Phương trình hoành độ giao điểm:
\( \frac{2x + 1}{x + 1} = -2x + m \)
\( \Leftrightarrow 2x + 1 = (x + 1)(-2x + m) \) (do x = -1 không thỏa phương trình)
\( \Leftrightarrow 2x^2 + (4 - m)x + 1-m = 0 \quad (\text{*}) \)
- \(\Delta = m^2 + 8 > 0, \forall m\) \(\Rightarrow \forall m \in \mathbb{R} \) , đường thẳng \( \Delta: y = -2x + m\) luôn cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A, B\) có \( x_A, x_B \) là hai nghiệm của phương trình (*).
- \( d(O, AB) = \frac{|m|}{\sqrt{5}} \)
\( AB= \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{5(x_1 + x_2)^2 - 20x_1x_2} = \sqrt{5(m^2 + 8)} \times \frac{1}{2} \)
- \(S_{\Delta OAB} = \frac{1}{2} \times AB \times d(O, AB) = \frac{|m| \cdot \sqrt{m^2 + 8}}{4} = \sqrt{3} \)
\(\Rightarrow m^4 + 8m^2 - 48 = 0 \)
\(\Rightarrow \begin{cases}
m^2 = 4 \\
m^2 = -12 \quad (\text{vô nghiệm})
\end{cases}\)
Do đó \( m = \pm 2 \). Vậy chọn \(\boxed{B}\).