Bài tập: Cho hàm số \( y = \frac{2x - 4}{x + 1} \) có đồ thị \((C)\), và điểm \( A(2, 8) \). Tìm \( m \) để đường thẳng \( d: y = -x + m \) cắt \((C)\) tại 2 điểm phân biệt \( M, N \) sao cho \( OMAN \) là hình bình hành (\(O\) là gốc tọa độ).
\(\text{A. } m = 5 \quad \text{B. }m = 1 \)
\(\text{C. } m = -3 \quad \text{D. }m = -1 \)
Lời giải:
- \( \frac{2x - 4}{x + 1} = -x + m \Rightarrow 2x - 4 = (x + 1)(-x + m) \)
\( \Leftrightarrow x^2 + (3 - m)x - 4-m = 0 \)
- \( \Delta = m^2 - 6m + 9 + 16 + 4m = m^2 - 2m + 25 > 0, \forall m \in \mathbb{R} \)
- \( M(x_1, -x_1 + m), N(x_2, -x_2 + m) \)
- Trung điểm của \( OA \) là \( I(1, 4) \)
- \( OMAN \) là hình bình hành \(\Leftrightarrow I(1, 4) \) là trung điểm của \( MN \).
\( I \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, -\frac{x_1 + x_2}{2} +m\right) = (1, 4) \)
\( \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{m - 3}{2} = 1 \\ -\left(\frac{m-3}{2}\right) + m = 4 \end{cases} \) \(\Leftrightarrow m = 5 \)
Vậy chọn \(\boxed{A}\).