Bài tập: Biết đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{x + b}{cx + d} \) có tiệm cận đứng \( x = -2 \) và thỏa điều kiện \( \lim\limits_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = 3 \). Khi đó, \( b + c + 2d \) bằng: 
\(\text{A. }  \frac{-10}{3}  \quad \text{B. } \frac{-3}{2} \)
\(\text{C. }  \frac{-4}{9} \quad \text{D. } \frac{4}{3} \) 

Lời giải:

• \( \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{x+b}{cx+d} \) \( = \lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{cx+d} + \frac{b+1}{(cx+d)(x-1)} \right) = 3 \) 

\( \Rightarrow  \begin{cases} b = -1 \\ \frac{1}{c+d} = 3 \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases} b = -1 \\ c + d = \frac{1}{3} \end{cases} \)

• Tiệm cận đứng: \( x = -\frac{d}{c} = -2 \Rightarrow d = 2c \)

Vậy ta có:

\( \begin{cases} b = -1 \\ d = 2c \\ 3c = \frac{1}{3} \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases} b = -1 \\ c = \frac{1}{9} \\ d = \frac{2}{9} \end{cases} \)

\( \Rightarrow  b + c + 2d = -1 + \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9} - 1 = -\frac{4}{9} \)

Vậy chọn \(\boxed{C}\).