Lời giải:

Đồ thị \((C)\) cắt đường thẳng \( \Delta_m\) tại 2 điểm phân biệt \( A \) và \( B \)

\(\Leftrightarrow\) Phương trình \( \frac{2x}{x - 1} = mx - m + 2 \) có 2 nghiệm phân biệt x_A, x_B

\( \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 1 \\ 2x = (x - 1)(mx - m + 2) \text{ có 2 nghiệm phân biệt } x_A, x_B \end{cases} \)

(Vì \( x = 1 \) không thỏa phương trình, bỏ điều kiện \( x \neq 1 \))

\( \Leftrightarrow \)  Phương trình \( mx^2 - 2mx + m - 2 = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt \(x_A, x_B \) (*) 

\( \Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta' = 2m > 0 \end{cases} \)

\( \Leftrightarrow m > 0 \)

Khi đó \( A(x_A, mx_A - m + 2) \) và \( B(x_B, mx_B - m + 2) \), với \( x_A, x_B \) là 2 nghiệm của phương trình (*), nên:

\( \begin{cases} x_A + x_B = 2 \\ x_A x_B = \frac{m - 2}{2} \end{cases} \)

\( AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 \) \(  = (x_B - x_A)^2 + m^2(x_B - x_A)^2 \)

\( = (1 + m^2)(x_B - x_A)^2 \) \( = (1 + m^2)\left[(x_A + x_B)^2 - 4x_A x_B\right] \)

\( = (1 + m^2) \frac{8}{m} \) \( = 8 \left( m + \frac{1}{m} \right) \geq 16 \quad (\text{vì } m > 0) \)

\( AB^2 = 16 \Leftrightarrow m = \frac{1}{m}  \Leftrightarrow m = 1 \).

Vậy \( AB \) ngắn nhất khi \( m = 1 \).