Đáp án

a) Đường thẳng \( \Delta_m: y = m(x - 2) + 5 \).

- Điểm \( A(2, 5) \) có tọa độ thỏa mãn \( \Delta_m \) với mọi \( m \in \mathbb{R} \).
  \( \Rightarrow \Delta_m \text{ luôn qua } A(2, 5). \)

- Mặt khác, \( A(2, 5) \) cũng thỏa mãn phương trình hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x - 1} \), nên:
  \( A(2, 5) \in (C) \)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và \( \Delta_m \):
\( \frac{2x + 1}{x - 1} = mx - 2m + 5 \)
\( \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 1 \\ 2x + 1 = (x - 1)(mx - 2m + 5) \end{cases} \)

\( \Leftrightarrow m x^2 - (3m - 3)x + 2m - 6 = 0 \quad (\text{Có 1 nghiệm } x = 2) \)

\( \Leftrightarrow (x - 2)(mx - m + 3) = 0 \)

\( \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \\ mx = m - 3 \end{cases} \)

a) \( \begin{cases} m \neq 0 \\ \frac{m-3}{m} > 1 \\ m \neq -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 0 \\ \frac{-3}{m} > 0 \\ m \neq -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 0 \\ m \neq -3 \end{cases} \)

b) \( \begin{cases} m \neq 0 \\ \frac{m-3}{m} < 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > 0 \end{cases} \)