Đáp án

Hàm số có 2 điểm cực trị:
\( \Leftrightarrow \) Phương trình  \( y' = \frac{x^2 + 2mx - 2}{(x+1)^2} = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt.

\( \Leftrightarrow \) Phương trình  \( x^2 + 2x + 2m - 2 = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt  \( x_1. x_2 \) khác \( -1 \)

\( \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta' = 3 - 2m > 0 \\ 2m - 3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m < \frac{3}{2} \)

Gọi \( A \left( x_1, 2x_1 + 2m \right) , B \left( x_2, 2x_2 + 2m \right) \) là 2 điểm cực trị \(A , B\) cách đều đường thẳng\( x+y+2 = 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{\left| x_1 + y_1 + 2 \right|}{\sqrt{2}} = \frac{\left| x_2 + y_2 + 2 \right|}{\sqrt{2}} \)

Nhắc lại: Đường thẳng \( \Delta : ax + by + c = 0 \) và điểm \( M(x_1, y_1) \) thì khoảng cách từ điểm \( M \) đến đường thẳng \( \Delta \) là
            \( d(M, \Delta) = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)

\( \Leftrightarrow |3x_1 + 2m + 2| = |3x_2 + 2m + 2| \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{I} 3x_1 + 2m + 2 = 3x_2 + 2m + 2 \\ 3x_1 + 2m + 2 = -3x_2 - 2m - 2 \end{array} \right. 
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{I} x_1 = x_2 \quad \text{(loại)} \\ 3(x_1 + x_2) = -4m - 4 (*)  \end{array} \right.  \)

Mà \( x_1 + x_2 = -2 \)

\( (*)  \Leftrightarrow -6 = -4m - 4 \Rightarrow m = \frac{1}{2} \quad \)(thoả mãn điều kiện \( m < \frac{3}{2} )\)

Đáp số: \( m = \frac{1}{2} \)
* Bạn có thể đi đến đáp số này nhanh hơn bằng một cách khác, có lẽ không quá 45 giây. Hãy suy nghĩ thử xem.

Gợi ý 1:

•  Hai điểm \( A \) và \( B \) cách đều đường thẳng \( \Delta \).

+ Đường thẳng \( AB\) vuông phương với đường thẳng\( \Delta\) 
+ Trung điểm \( I\) của đoạn thẳng \(AB\)  nằm trên \(\Delta\)

 •  Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình \( y = 2x + 2m \).

Gợi ý 2:

• Vì đường thẳng qua 2 điểm cực trị không cùng phương với đường thẳng \( x + y + 2 = 0 \)

• Do hai điểm cực trị \( A \left( x_1, 2x_1 + 2m \right) , B \left( x_2, 2x_2 + 2m \right) \) cách đều đường thẳng \( x + y + 2 = 0 \)
\(\Leftrightarrow\) Trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) là \( I \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, x_1 + x_2 + 2m \right) \) nằm trên đường thẳng \(d:  x + y + 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \frac{x_1 + x_2}{2} + x_1 + x_2 + 2m + 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow 3(x_1 + x_2) + 4m + 4 = 0 \) (*)

•Mà \( x_1 + x_2 = -2 \)

(*) \(\Leftrightarrow -6 + 4m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2} \)