Bài tập: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\) là đường cong bên dưới. 

 Khi đó hàm số \(g(x) = f(x^2 - 2) \) đồng biến trong các khoảng:

A. \((- \infty, -2), (0, 1), (2, +\infty)\)

B. \((- \infty, -2), (0, 2)\)

C. \((- \sqrt{3}, -1), (0, 1), (\sqrt{3}, +\infty)\)

D. \((- \sqrt{3}, -1), (1, \sqrt{3})\)

 

Gợi ý và hướng dẫn:

• \( g'(x) = 2x f'(x^2 - 2) \)
• \(f'(x^2 - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x^2 - 2 = -1 \\ x^2 - 2 = 2 \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x^2 = 1 \\ x^2 = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \end{array} \right. \)

• \(f'(x^2 - 2) < 0 \Rightarrow x^2 - 2 > 2 \)

\( \Leftrightarrow x^2 > 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x < -2 \\ x > 2 \end{array} \right.\)

Suy ra bảng biến thiên của hàm \(g\):

Vậy chọn \(\boxed{B}\).

Một cách làm khác gọn hơn:

\( g'(x) = 2x f'(x^2 - 2) \geq 0 \)

\( \iff \left[ \begin{array}{}  \begin{cases}
x \geq 0 \\
f'(x^2 - 2) \geq 0
\end{cases} \\ \begin{cases}
x\leq 0 \\
f'(x^2 - 2) \leq 0
\end{cases} \end{array} \right. \) 

\( \iff \left[ \begin{array}{}  \begin{cases}
x \geq 0 \\ x^2 - 2 \leq 2
\end{cases} \\ \begin{cases}
x\leq 0 \\x^2 - 2 \geq 2
\end{cases} \end{array} \right. \) 

\( \iff \left[ \begin{array}{}  \begin{cases}
x \geq 0 \\-2 \leq x \leq 2
\end{cases} \\ \begin{cases}
x \leq 0 \\x \leq -2 \vee x \geq 2
\end{cases} \end{array} \right. \) 

\( \iff \left[ \begin{array}{}  0 \leq x \leq 2\\x \leq -2 \end{array} \right. \) 

page 33