Bài tập: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(y = \frac{\sin{x} - m}{m\sin{x} - 4}\) đồng biến trong \((\frac{\pi}{2}, \pi)\)?

A. 5

B. Vô số

C. 3

D. 7
 

Gợi ý và hướng dẫn:

• \(y' = \cos x \left( \frac{m^2 - 4}{(m \sin x - 4)^2} \right) \geq 0, \forall x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) (*)\)
• Đặt \(t = \sin x\). Ta có: \(\frac{\pi}{2} < x < \pi \Rightarrow 0 < t < 1\)
• Vì \(\cos x < 0\) khi \(\frac{\pi}{2} < x < \pi\):

\((*) \Leftrightarrow \frac{m^2 - 4}{(m t - 4)^2} < 0, \forall t \in (0, 1)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m = 0 \\ \left\{ \begin{array}{ll} m \neq 0 \\ m^2 - 4 < 0 \\ \frac{4}{m} \notin (0, 1) \end{array} \right. \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m = 0 \\ \left\{ \begin{array}{ll} m \neq 0 \\ -2 < m < 2 \\ m < 0 \text{ hoặc } 1 \leq \frac{4}{m} \end{array} \right. \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m = 0 \\ \left\{ \begin{array}{ll} m \neq 0 \\ -2 < m < 2 \\ m < 0 \text{ hoặc } 0 < m < 4 \end{array} \right. \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m = 0 \\ m = \pm 1 \end{array} \right. \)

Vậy chọn \(\boxed{C}\).

page 37