Giải phương trình: \( \sqrt{x^2 + x - 1} - \sqrt{4x- 3} = \sqrt{4x - 1} - \sqrt{x^2 + x + 1} \)

 

Gợi ý và hướng dẫn:

Điều kiện: \(\begin{cases} x^2 + x - 1 \geq 0 \\ 4x - 3 \geq 0 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x \leq \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \text{ hoặc } x \geq \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \\ x \geq \frac{3}{4} \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow x \geq \frac{3}{4} \)

Phương trình đã cho

\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{(x^2 + x - 1) + 2} = \sqrt{4x - 3} + \sqrt{(4x - 3) + 2}\) (*)

Xét \(f(t) = \sqrt{t} + \sqrt{t + 2}\)

• \(D_f = [0, +\infty)\)
• \(f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} + \frac{1}{2\sqrt{t + 2}} > 0, \forall t \in (0, +\infty)\) ==>  hàm \(f\) đồng biến trên \(D_f = [0, +\infty)\), thỏa điều kiện \(\begin{cases} x^2 + x - 1 \geq 0 \\ 4x - 3 \geq 0 \end{cases}\)

(*) \(\Leftrightarrow f(x^2 + x - 1) = f(4x - 3)\)

\(\Leftrightarrow x^2 + x - 1 = 4x - 3 \)

\(\Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{}  x = 1 \\ x = 2 \end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

page 44