Giải phương trình: \(8x^3 - (3x + 1)\sqrt{3x + 1} = \sqrt{3x + 1} - 2x\)

 

Gợi ý và hướng dẫn:

Điều kiện: \(x \geq -\frac{1}{3}\)

Phương trình \(\Leftrightarrow (2x)^3 + 2x = (\sqrt{3x + 1})^3 + \sqrt{3x + 1} \quad\) (*)

Xét \(f(t) = t^3 + t\). Khi đó \(f'(t) = 3t^2 + 1 > 0, \forall t \in \mathbb{R}\). Hàm \(f\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó (*) \(\Leftrightarrow f(2x) = f(\sqrt{3x + 1})\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{3x + 1} = 2x\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} 2x \geq 0 \\ 3x + 1 = 4x^2 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 0 \\ 4x^2 - 3x - 1 = 0 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 0 \\ x = 1 \text{ hoặc } x = -\frac{1}{4} \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow x = 1\)

page 45