Gợi ý và hướng dẫn:

Điều kiện: \(x \geq \frac{2}{3}\)

Phương trình \(\Leftrightarrow 2x^3 + x = (6x - 3)\sqrt{3x - 2}\)

\(\Leftrightarrow x(2x^2 + 1) = \sqrt{3x - 2}(2(3x - 2) + 1) \quad\) (*)

Xét \(f(t) = t (2t^2 + 1) = 2t^3 + t\)

\(f'(t) = 6t^2 + 1 > 0, \forall t \in \mathbb{R}\). Hàm \(f\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó (*) \(\Leftrightarrow f(x) = f(\sqrt{3x - 2})\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{3x - 2} = x\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 0 \\ 3x - 2 = x^2 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 0 \\ x^2 - 3x + 2 = 0 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 0 \\ x = 1 \text{ hoặc } x = 2 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x = 1 \\ x = 2 \end{array} \right.\)
 

Làm thêm:

a) \(x^3 - 3x^2 + 6x - 4 = (x + 6)\sqrt{x + 3}\)

Gợi ý: \((x - 1)^3 + 3(x - 1) = (\sqrt{x + 3})^3 + 3\sqrt{x + 3}\)

\(x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\)

b) \((4x^2 + 1)x + (x - 3)\sqrt{5 - 2x} = 0\)

Gợi ý: \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{7} \)

c) \(x(4x^2 + 1) - (x^2 + x)\sqrt{2x^2 + 2x - 1} = 0\)

Gợi ý: phương trình vô nghiệm

d) \((3x + 1)\sqrt{9x^2 + 6x + 2} = x - 1 + 4x\sqrt{16x^2 + 1}\)

Gợi ý: x = 1