Gợi ý và hướng dẫn:

Điều kiện: \(\forall x \in \mathbb{R}\)

Phương trình \(\Leftrightarrow 3x \left( 2 + \sqrt{(3x)^2 + 3} \right) = -(4x + 2)(1 + \sqrt{x^2 + x + 1})\)

\(\Leftrightarrow 3x \left( 2 + \sqrt{(3x)^2 + 3} \right) = -(2x + 1)(2 + \sqrt{4x^2 + 4x+ 4})\)

\(\Leftrightarrow 3x \left( 2 + \sqrt{(3x)^2 + 3} \right) = -(2x + 1) \left( 2 + \sqrt{[-\left(2x + 1 \right) ]^2 + 3} \right)\)

Xét \(f(t) = t \left( 2 + \sqrt{t^2 + 3} \right) = 2t + t \sqrt{t^2 + 3}\)

• \(D_f = \mathbb{R}\)
• \(f'(t) = 2 + \sqrt{t^2 + 3} + \frac{t^2}{\sqrt{t^2 + 3}} > 0, \forall t \in \mathbb{R}\) => hàm \(f\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Phương trình \(\Leftrightarrow f(3x) = f(-(2x + 1)) \)

\( \Leftrightarrow 3x = -(2x + 1)\)

\(\Leftrightarrow x = -\frac{1}{5}\)

Làm thêm: \((x + 2)(\sqrt{x^2 + 4x + 7} + 1) + x(\sqrt{x^2 + 3} + 1) = 0\)

Gợi ý:

Phương trình \(\Leftrightarrow (x + 2)\left( \sqrt{(x + 2)^2 + 3} + 1 \right) = -x \left( \sqrt{(-x)^2 + 3} + 1 \right) \)

\(\Leftrightarrow x + 2 = -x \\ \Leftrightarrow x = -1 \)