Gợi ý và hướng dẫn

 Giải bpt: \(2x^3 + 12x^2 + 25x + 18 > (2x + 9)\sqrt{x + 4}\)

Gợi ý và hướng dẫn:

Điều kiện: \(x \geq -4\)

  • Tư duy: Đặt \(t = \sqrt{x + 4} \Rightarrow x = t^2 - 4\)

Ta có: \((2x + 9)\sqrt{x + 4} = (2t^2 + 1)t = 2t^3 + t\)

  • Tìm cách phân tích: \(2x^3 + 12x^2 + 25x + 18 = 2\alpha^3 + \alpha\)

Ta thấy: \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

\(2x^3 + 12x^2 + 25x + 18 = 2(x^3 + 6x^2) + 25x + 18\) (*)

\((x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)

\(\Rightarrow x^3 + 6x^2 = (x + 2)^3 - 12x - 8\)

Suy ra: \(2x^3 + 12x^2 + 25x + 18 = 2(x + 2)^3 + x + 2\)

Bất phương trình \(\Leftrightarrow 2(x + 2)^3 + (x + 2) > 2(\sqrt{x + 4})^3 + \sqrt{x + 4}\)(*)

Xét \(f(t) = 2t^3 + t \Rightarrow f'(t) = 6t^2 + 1 > 0, \forall t \in \mathbb{R}\). Do đó hàm \(f\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

\((*) \Leftrightarrow f(x + 2) > f(\sqrt{x + 4}) \Leftrightarrow \sqrt{x + 4} < x + 2\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x + 4 < x^2 + 4x + 4 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} x >-2 \\ x^2 + 3x > 0 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x < -3 \text{ hoặc } x > 0 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow x > 0\)

Làm thêm: \( (2x + 1)(4x^2 + 4x + 3) ≤ \sqrt{x^2 + x + 1} (x^2 + x + 3) \)

Đáp án: \(x \leq 0\)