Bài tập: Tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số ​​​​​\(y = f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + (m-1)x^2 + (m+3)x - 1\) đồng biến trong \((0, 3)\) là:
\(A. [0, +\infty) \\ B. (0, +\infty) \\ C. \left[\frac{12}{7}, +\infty\right) \\ D. \left(\frac{12}{7}, +\infty\right)\)

 

Lời giải:

\(f'(x) = -x^2 + 2(m-1)x + m + 3 > 0, \quad \forall x \in (0, 3)\)

\( \iff pt f'(x) = 0 \text{ có 2 nghiệm } x_1, x_2: x_1 \leq 0 < 3 \leq x_2 \)

\( \iff  \begin{cases} -f'(0) \leq 0 \\ -f'(3) \leq 0  \end{cases} \)

\( \iff  \begin{cases}f(0) = m + 3 \geq 0 \\ f(3) = 7m - 12   \geq 0 \end{cases} \)

\( \iff m \geq \frac{12}{7} \)

Vậy chọn \(\boxed{C}\).

 

Cách 2:

\(f'(x) = -x^2 + 2(m-1)x + m + 3 > 0, \quad \forall x \in (0, 3)\)

• \(m = 1 : f'(x) = -x^2 + 4 \geq 0 \iff -2 \leq x \leq 2\). Không thỏa điều kiện. Do đó loại A và B.
• \(m = \frac{12}{7} : f'(x) = -x^2 + \frac{10}{7}x + \frac{33}{7} \geq 0 \iff -\frac{11}{7} \leq x \leq 3\). Thỏa điều kiện. Do đó loại D.

Vậy chọn \(\boxed{C}\).