Làm thêm: Tập hợp các giá trị của m để hàm số \(y = f(x) = x^3 + mx^2 + (m-4)x + 1\) nghịch biến trong \((-2,0)\) là:

\(A. m \leq 4 \\ B. m \geq \frac{8}{3} \\ C. \frac{8}{3} \leq m \leq 4 \\ D. \frac{8}{3} < m < 4\)

 

Lời giải:

Hàm số nghịch biến trong \((-2,0)\), do đó \(f′(x)=3x^2+2mx+m−4≤0 \quad \forall x \in (−2,0)\)

\(\iff f′(x)=0 \text{ có 2 nghiệm } x_1, x_2: x_1​ \leq −2 < 0 \leq x_2​\)

\( \iff \begin{cases} 3f(-2) \leq 0 \\ 3f(0) \leq 0 \end{cases}\)

\(\iff \begin{cases} 3(-3m + 8) \leq 0 \\ 3(m - 4) \leq 0 \end{cases}\)

\(\iff \begin{cases} m \geq \frac{8}{3} \\ m \leq 4 \end{cases}\)

\(\iff \frac{8}{3} \leq m \leq 4\)

Vậy chọn \(\boxed{C}\).

 

Cách 2:

• \(m = 0: f'(x) = 3x^2 - 4 \leq 0\)

\(\iff -\frac{2\sqrt{3}}{3} \leq x \leq \frac{2\sqrt{3}}{3} \). Không thỏa điều kiện. Do đó loại A.

• \(m = 4: f'(x) = 3x^2 + 8x \leq 0\)

\(\iff -\frac{8}{3} \leq x \leq 0\). Thỏa điều kiện. Do đó loại D.

• \(m = 5: f'(x) = 3x^2 + 10x + 1 \leq 0 \)

\( \iff \frac{- 5 - \sqrt{22}}{3} \leq x \leq \frac{- 5 + \sqrt{22}}{3} \). Không thỏa điều kiện. Do đó loại B.

Vậy chọn \(\boxed{C}\).